ๅˆปๆ„ๅฐ‡ๅบ•ไธ‹็š„ multilinear map ๆŽ’ๆˆ ๐‘‰โˆ—ร—โ€ฆร—๐‘‰โˆ—โŸโŸโŸโŸโŸ๐‘Ÿโˆ’timesร—๐‘‰ร—โ€ฆร—๐‘‰โŸโŸโŸโŸโŸ๐‘ โˆ’timesโ†’๐‘Š ๅฝขๅผ็š„ ๐‘‡๐‘Ÿ s(๐‘‰;๐‘Š) tensor

้€™ไนŸๅฏไปฅๅฏซๆˆ ๐‘‰โŠ—โ‹ฏโŠ—๐‘‰โŠ—๐‘‰โˆ—โŠ—โ‹ฏโŠ—๐‘‰โˆ—๏ผŒๆณจๆ„ ๐‘‰ ๅฏๆŽฅๅ— ๐‘‰โˆ— ็‚บๅƒๆ•ธ๏ผŒๆ‰€ไปฅ่ทŸไธŠ้ขๆญฃๅฅฝ็›ธๅใ€‚

(consolidated) product

่ˆ‰ไพ‹ไพ†่ชช

๐‘‡1 1(๐‘‰;๐‘Š)โŠ—๐‘‡1 1(๐‘‰;๐‘Š)โ†’๐‘‡2 2(๐‘‰;๐‘Š)

ๅฎš็พฉ็‚บ

(๐‘†ร—๐‘‡)(๐‘Ž1,๐‘Ž2,๐‘ฃ1,๐‘ฃ2)โ‰”๐‘†(๐‘Ž1,๐‘ฃ1)๐‘‡(๐‘Ž2,๐‘ฃ2)

ๆ™ฎ้€š tensor

ๆ™ฎ้€š็š„ tensor ่จ˜่™Ÿๅฆ‚ ๐‘‡1 1 2(๐‘‰;๐‘Š)๏ผŒๆ˜ฏไฝฟ็”จๆŽ’็‰ˆไพ†่กจ็คบ ๐‘‰โˆ—ร—๐‘‰ร—๐‘‰ร—๐‘‰โˆ—โ†’๐‘Šใ€‚้€š็”จ็š„ๆƒ…ๆณๅฏไปฅ็›ด่ฆบ็š„ๆƒณๅ‡บ้€™ไบ›่กจ็คบๆณ•ๆƒณ่กจ็คบ็š„ไฝ็ฝฎ

  1. ็•ถ ๐‘‰ ๆ˜ฏๆœ‰้™็ถญๅบฆ๏ผˆmanifold ็š„ไฝฟ็”จๅ ดๆ™ฏ้€šๅธธๅฆ‚ๆญค๏ผ‰ๆ™‚๏ผŒ่ฎŠๆ›ๆˆ consolidated form ไธฆไธๆœƒๆœ‰ไปปไฝ•ๅ•้กŒ
  2. ไฝ†็•ถ ๐‘‰ ๆ˜ฏ็„ก้™็ถญๅบฆๆ™‚๏ผŒๅฐฑๆœ‰ๅŒๆง‹ไธๆˆ็ซ‹็š„ๅฏ่ƒฝใ€‚

Basis of tensor space

็”จๆกˆไพ‹ไพ†็œ‹ๆ›ดๅฎนๆ˜“็†่งฃ๏ผŒๅ‡่จญๆœ‰็ถญๅบฆ 2 ็š„็ฉบ้–“ ๐‘‰ ๏ผŒๅฏไปฅๅ‡่จญๅฎƒๆœ‰ๅ…ฉๅ€‹ basis ๐‘’1,๐‘’2

๐‘ฃ=๐‘ฃ1๐‘’1+๐‘ฃ2๐‘’2๐‘ค=๐‘ค1๐‘’1+๐‘ค2๐‘’2

ไนŸๅฐฑๆ˜ฏ่ชช

(๐‘ฃ1๐‘ฃ2)โŠ—(๐‘ค1๐‘ค2)=(((((((๐‘ฃ1๐‘ค1๐‘ฃ1๐‘ค2๐‘ฃ2๐‘ค1๐‘ฃ2๐‘ค2)))))))

ๅฏไปฅ่ขซ่ฆ–็‚บ

๐‘ฃ1๐‘ค1๐‘’1โŠ—๐‘’1+๐‘ฃ1๐‘ค2๐‘’1โŠ—๐‘’2+๐‘ฃ2๐‘ค1๐‘’2โŠ—๐‘’1+๐‘ฃ2๐‘ค2๐‘’2โŠ—๐‘’2

ๆˆ–ๆ˜ฏ่ฆ–็‚บ็Ÿฉ้™ฃ

(๐‘ฃ1๐‘ค1๐‘ฃ2๐‘ค1๐‘ฃ1๐‘ค2๐‘ฃ2๐‘ค2)

ๅ…ฉๅ€‹่กจ็คบๆณ•็š„่ฝ‰ๆ›ๅซๅš reshape๏ผŒๅœจ https://www.math3ma.com/blog/the-tensor-product-demystified ไธญๆœ‰ๅพˆๅฅฝ็š„ๅœ–็คบๅŒ–