刻意將底下的 multilinear map 排成 𝑉××𝑉𝑟times×𝑉××𝑉𝑠times𝑊 形式的 𝑇𝑟 s(𝑉;𝑊) tensor

這也可以寫成 𝑉𝑉𝑉𝑉,注意 𝑉 可接受 𝑉 為參數,所以跟上面正好相反。

(consolidated) product

舉例來說

𝑇1 1(𝑉;𝑊)𝑇1 1(𝑉;𝑊)𝑇2 2(𝑉;𝑊)

定義為

(𝑆×𝑇)(𝑎1,𝑎2,𝑣1,𝑣2)𝑆(𝑎1,𝑣1)𝑇(𝑎2,𝑣2)

普通 tensor

普通的 tensor 記號如 𝑇1 1 2(𝑉;𝑊),是使用排版來表示 𝑉×𝑉×𝑉×𝑉𝑊。通用的情況可以直覺的想出這些表示法想表示的位置

  1. 𝑉 是有限維度(manifold 的使用場景通常如此)時,變換成 consolidated form 並不會有任何問題
  2. 但當 𝑉 是無限維度時,就有同構不成立的可能。

Basis of tensor space

用案例來看更容易理解,假設有維度 2 的空間 𝑉 ,可以假設它有兩個 basis 𝑒1,𝑒2

𝑣=𝑣1𝑒1+𝑣2𝑒2𝑤=𝑤1𝑒1+𝑤2𝑒2

也就是說

(𝑣1𝑣2)(𝑤1𝑤2)=(((((((𝑣1𝑤1𝑣1𝑤2𝑣2𝑤1𝑣2𝑤2)))))))

可以被視為

𝑣1𝑤1𝑒1𝑒1+𝑣1𝑤2𝑒1𝑒2+𝑣2𝑤1𝑒2𝑒1+𝑣2𝑤2𝑒2𝑒2

或是視為矩陣

(𝑣1𝑤1𝑣2𝑤1𝑣1𝑤2𝑣2𝑤2)

兩個表示法的轉換叫做 reshape,在 https://www.math3ma.com/blog/the-tensor-product-demystified 中有很好的圖示化