Note

่จ˜่™ŸไธŠ้€™็ฏ‡็”จ ๐’ฏ๐‘Ÿ๐‘  ๅ–ไปฃ ๐‘‡๐‘Ÿ๐‘ 

ไธ€ไฝ†่€ƒๆ…ฎๆ‰€ๆœ‰ tensor ็š„ direct sum๏ผŒๅฐฑๆง‹ๆˆไบ† tensor algebra

๐’ฏ(๐‘‰)โ‰”โจ๐‘Ÿ,๐‘ ๐’ฏ๐‘Ÿ๐‘ (๐‘‰)

(๐’ฏ(๐‘‰),+,โŠ—) ๆง‹ๆˆ associative algebra

  1. ่—‰็”ฑ reshape tensor matrix ็‚บ vector๏ผŒๅฏไปฅ็œ‹ๅ‡บๅŠ ๆณ•็ขบๅฏฆๆ˜ฏ associative ็š„
  2. โŠ— ๅ› ็‚บ tensor product ๅชๆ˜ฏๆŠŠๆ›ดๅคš vectors ๆ”พๅ…ฅ๏ผŒๅ› ๆญค่ˆ‡็ตๅˆๅ…ˆๅพŒ้ †ๅบ็„ก้—œ

natural contraction

tr:๐’ฏ๐‘Ÿ๐‘ (๐‘‰)โ†’๐’ฏ๐‘Ÿโˆ’1๐‘ โˆ’1(๐‘‰)

ๅฎš็พฉ็‚บ

tr(๐‘ฃ1โŠ—โ‹ฏโŠ—๐‘ฃ๐‘ŸโŠ—๐‘ข1โŠ—โ‹ฏโŠ—๐‘ข๐‘ )โ‰”โŸจ๐‘ข1,๐‘ฃ1โŸฉtr(๐‘ฃ2โŠ—โ‹ฏโŠ—๐‘ฃ๐‘ŸโŠ—๐‘ข2โŠ—โ‹ฏโŠ—๐‘ข๐‘ )