Note

記號上這篇用 𝒯𝑟𝑠 取代 𝑇𝑟𝑠

一但考慮所有 tensor 的 direct sum,就構成了 tensor algebra

𝒯(𝑉)≔⨁𝑟,𝑠𝒯𝑟𝑠(𝑉)

(𝒯(𝑉),+,⊗) 構成 associative algebra

  1. 藉由 reshape tensor matrix 為 vector,可以看出加法確實是 associative 的
  2. ⊗ 因為 tensor product 只是把更多 vectors 放入,因此與結合先後順序無關

natural contraction

tr:𝒯𝑟𝑠(𝑉)→𝒯𝑟−1𝑠−1(𝑉)

定義為

tr(𝑣1⊗⋯⊗𝑣𝑟⊗𝑢1⊗⋯⊗𝑢𝑠)≔⟨𝑢1,𝑣1⟩tr(𝑣2⊗⋯⊗𝑣𝑟⊗𝑢2⊗⋯⊗𝑢𝑠)